概率论与数理统计 (Spring 2025)/An exercise on induced distribution

考虑如下问题：单位圆中独立均匀分布的两点[math]\displaystyle{ A }[/math]和[math]\displaystyle{ B }[/math]，令线段[math]\displaystyle{ AB }[/math]中点为[math]\displaystyle{ C }[/math]。问[math]\displaystyle{ C }[/math]的概率密度是什么？

对此，我们做出如下猜测：单位圆中任意点[math]\displaystyle{ c }[/math]的概率密度应该正比于如下区域的面积——该区域中所有点及其关于[math]\displaystyle{ c }[/math]的对称点均在单位圆中，即[math]\displaystyle{ c }[/math]的概率密度正比于如下点集的面积

[math]\displaystyle{ \begin{align} S_c=\left\{a\in\mathbb{R}^2\mid \|a\|_2\le 1\land \|2c-a\|_2\le 1\right\}. \end{align} }[/math]

Proof. 令[math]\displaystyle{ \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\} }[/math]为单位圆。 则随机变量[math]\displaystyle{ A }[/math]和[math]\displaystyle{ B }[/math]的概率密度为（符号[math]\displaystyle{ \propto }[/math]表示正比于）： [math]\displaystyle{ \begin{align} f_A(a) &\propto I_{\Omega}(a),\\ f_B(b) &\propto I_{\Omega}(b), \end{align} }[/math] 此处[math]\displaystyle{ I_{\Omega} }[/math]为集合[math]\displaystyle{ \Omega }[/math]的指示函数，即[math]\displaystyle{ I_{\Omega}(x)=1 }[/math]当且仅当[math]\displaystyle{ x\in\Omega }[/math]，否则[math]\displaystyle{ I_{\Omega}(x)=0 }[/math]。 根据[math]\displaystyle{ A }[/math]与[math]\displaystyle{ B }[/math]的独立性，[math]\displaystyle{ (A,B) }[/math]的联合密度为： [math]\displaystyle{ f_{(A,B)}(a,b)\propto I_{\Omega}(a)\cdot I_{\Omega}(b) }[/math]. 由于[math]\displaystyle{ C=\frac{A+B}{2} }[/math]，映射[math]\displaystyle{ (A,B)\mapsto (A,C) }[/math]为线性变换； 且有逆映射[math]\displaystyle{ B=2C-A }[/math]。 可以验证，[math]\displaystyle{ (A,C) }[/math]的联合密度函数为： [math]\displaystyle{ f_{(A,C)}(a,c)\propto I_{\Omega}(a)\cdot I_{\Omega}(2c-a) }[/math]. （对于这一步的严格验证，需先积分到[math]\displaystyle{ (A,B) }[/math]的联合累积分布函数，再由逆映射[math]\displaystyle{ B=2C-A }[/math]推出[math]\displaystyle{ (A,C) }[/math]的联合累积分布函数，然后再微分得到[math]\displaystyle{ (A,C) }[/math]的密度。对于线性映射，由于微积分对线性运算可交换，我们可以简化到在密度函数上直接做变量变换。） 对[math]\displaystyle{ a }[/math]求积分得到[math]\displaystyle{ C }[/math]的概率密度： [math]\displaystyle{ \begin{align} f_{C}(c)\propto \int_{\mathbb{R}^2}I_{\Omega}(a)\cdot I_{\Omega}(2c-a)\,\mathrm{d}a. \end{align} }[/math] 注意到，这一积分正是如下点集的面积： [math]\displaystyle{ \begin{align} S_c=\left\{a\in\mathbb{R}^2\mid a\in\Omega\land (2c-a)\in\Omega\right\}. \end{align} }[/math] [math]\displaystyle{ \square }[/math]